Um nicht schon frühzeitig als Scharlatan entlarvt zu werden (kein Zweifel, dass ich es bin), muss ich mal wieder ein etwas anstrengenderes Kapitel einbauen. Eins mit einigem Rechnen und so. Wir müssen uns einfach mit diesen beiden genannten Begriffen beschäftigen, das kann ich dem Leser und interssierten Sportwetter einfach nicht ersparen.
Was ist also ein oder auch der Erwartungswert? Und ich präsentiere Ihnen nicht die mathematische Definition, sondern versuche es intuitiv zu erklären. Wenn wir also mal wieder den Würfel in die Hand nehmen, was erwarten wir, zu würfeln? Na, ich erwarte gar nix. Mal gucken, was kommt, oder? Ja, korrekt. Aber wenn wir jetzt von der Augensumme sprechen, die wir erwarten? Na, selbst dann, das ist doch das Gleiche. Aber wenn wir 100 Mal würfeln? Erwarten wir dann irgendeine Summe? Ja, jetzt kommen wir der Sache näher. Man könnte nun einen Würfel hernehmen und es ausprobieren. Haben Sie Spaß dran? Dann los. Ich hab es auch gemacht. Und das Ergebnis war: 15* 1, 16*2, 21*3, 15*4, 17*5 und 16*6. Also habe ich insgesamt 15*1 + 16*2 + 21*3 + 15*4 + 17*5 + 16*6 Augen gewürfelt. Das ist 15 + 32 + 63 + 60 + 85 + 96 = 351. Wenn ich diese Zahl durch 100 dividiere, für die 100 Würfe, 351/100, erhalte ich 3.51. Das ist meine durchschnittlich gewürfelte Augensumme. Und wie war der Erwartungswert?
Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um einen absolut ausgewogenen Würfel, also um ein LaPlace Experiment handelt, wäre der Erwartungswert die Multiplikation der Eintrittswahrscheinlichkeit mit dem Zahlenwert selber, demnach: 1/6 * 1 +1/6 *2 + 1/6 *3 +1/6 * 4 +1/6 *5 +1/6 *6. Und das Ergebnis ist tatsächlich 3.5. Man kann es sich hier sogar noch einfacher machen, und einfach die Augen aufaddieren und durch die Anzahl der möglichen Ausgänge dividieren: Also 1+2+3+4+5+6 = 21. Und 21/6 = 3.5. Und sogar mein Experiment hat sich daran gehalten, was aber reiner Zufall ist. Oder doch nicht? Probieren Sie es aus. Es könnte auch manchmal größere Abweichungen geben.
Das Ausmultiplizieren der Eintrittswahrscheinlichkeit mit dem Augenwert kann man auch sprachlich so ausführen: Ein Sechstel Mal kommt die 1 und Ein Sechstel Mal kommt die 2 und Ein Sechstel Mal kommt die 3 und Ein Sechstel Mal kommt die 4 und Ein Sechstel Mal kommt die 5 und Ein Sechstel Mal kommt die 6.
Charakter
Das Beispiel war nun bewusst einfach gewählt und sicher auch längst bekannt. Aber jetzt bringe ich mal eine ganz kleine Variation in das Experiment. Sie erhalten folgenden Auftrag: Würfeln, würfeln, würfeln, Augen aufaddieren, die Sie würfeln. Aber wenn Sie eine 1 würfeln, ist alles gelöscht, Sie haben 0 Augen. Dann ergibt sich die folgende Fragestellungen: Bis zu welcher Augensumme sollten Sie weiterwürfeln, um möglichst weit zu kommen? Vielleicht einen Anderen zu besiegen?
Nun wird es schon wesentlich komplizierter. Die Kunst ist es jetzt aber nicht, zur Berechnung die passende Formel zu suchen (zumindest habe ich diese Kunst nicht erlernt, kann sie also auch nicht lehren) oder gar zu kennen, sondern intuitiv eine möglichst gute Vereinfachung des Problems zu finden, um es sich handlich zu machen. Sie dürfen aber auch ruhig intuitiv antworten auf zum Beispiel folgende Frage: Sie haben 15 erreicht (also Sie hatten eine 3, eine 5, eine 4 und dann wieder eine 3, zum Beispiel). Würden Sie jetzt weiter würfeln? Es könnte doch eine 1 kommen, und dann wäre alles wieder weg! Also, was tun? Im Notfall hilft rechnen. Wir fragen jetzt also im Prinzip nach dem Erwartungswert, wenn Sie noch einmal würfeln, und der errechnet sich, nach der obigen Formel genauso, nur mit den leicht modifizierten Werten: 1/6 * 0 + 1/6 * 17 + 1/6 * 18 + 1/6 * 19 + 1/6 * 20 + 1/6 * 21 (zur Überprüfung, auch bei komplexeren Problemen, sollte man zumindest immer einmal die Wahrscheinlichkeiten aufaddieren, dass diese zusammen 1 ergeben. Dann hat man wohl keinen Fall vergessen).
Die modifizierten Zahlenwerte ergeben sich durch Addition von 15 +gewürfelte Augen. Und im Falle, dass Sie ein 1 würfeln haben Sie 0, denn dann ist das Spiel beendet, Ihr Wert steht fest. Sie haben eine 0 erzielt. Also, der Wert, der sich ergibt durch die obige Berechnung ist in diesem Fall 15.833.
Wenn Sie also bei 15 würfeln, erzielen Sie einen Wert von 15.833. Sie haben die Wahl zwischen 15, wenn Sie aufhören und 15.833, wenn Sie würfeln. Da fällt die Wahl doch nicht mehr schwer, oder? Die Antwort ist, Sie müssen würfeln. Und wenn man diese halbwegs handliche Darstellung des Problems hat, fällt es natürlich leicht, die korrekte Antwort auf Frage 1 zu finden. Es ergibt sich, wie Sie leicht auch selber feststellen können, dass man bei 19 würfeln muss (Erwartungswert ist 19.167), bei 20 ist es egal, es ergibt sich 20, ob Sie würfeln oder nicht (rechnen Sie: 1/6 *0 + 1/6 * 22 + 1/6 * 23 + 1/6 * 24 + 1/6 * 25 + 1/6 * 26, das ergibt exakt 20). Und bei 21 müssen Sie unbedingt stehen bleiben. Der Erwartungswert bei 21 ist 20.833 wenn Sie würfeln, also weniger als 21.
Also, einen Erwartungswert immer so berechnen: Die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse berechnen, notieren, die Summe muss 1 ergeben. Und dann multiplizieren mit den Zahlenwerten, die bei dem Zufallsexperiment, also den möglichen Ausgängen, herauskommen.
Zwei Umschläge
Gut, und nun zeige ich Ihnen gleich ein Beispiel, was auch einen Mathematiker an der Richtigkeit dieser Berechnungsmethode zweifeln lässt. Das Beispiel ist aber nur zur Unterhaltung gedacht:
Ein Gedankenexperiment: Ich lege Ihnen zwei Briefumschläge hin. Sie können einen dieser Briefumschläge auswählen. In jedem Briefumschlag ist ein Geldbetrag enthalten. Die Beträge sind unterschiedlich. In einem Umschlag ist der doppelte Betrag des anderen enthalten. So viel wissen Sie nun. Nun können Sie einen Umschlag nehmen. Sie können ihn öffnen und hineinschauen. Danach frage ich Sie, ob Sie diesen behalten wollen oder lieber den anderen Umschlag haben wollen. Sie zögern, nehme ich an. Warum tauschen? Sagen wir, Sie hätten 50 Euro vorgefunden. Und nach Studium dieses Kapitels sagen Sie sich natürlich, ich kann es ja ausrechnen. Mal sehen, ob ich beim Tauschen oder beim Behalten besser abschneide.
Also notieren Sie die Zahlen: Zu 50% bekommen Sie die Hälfte von 50, zu 50% bekommen Sie das Doppelte, so muss es sein. Der Betrag in dem anderen Umschlag ist also entweder 25 Euro oder 100 Euro. Nun können wir spielend leicht ausmultiplizieren. In der Hälfte der Fälle verlieren Sie 25 Euro, in der anderen Hälfte der Fälle gewinnen Sie 50 Euro. Als Rechenoperation sieht es so aus: 0.5 * (-25 Euro) + 0.5* (+50 Euro) = +12.5 Euro (bei dieser Form der Berechnung des Erwartungswertes habe ich nur die Veränderung, die beim Tauschen entsteht, berücksichtigt). Also, Sie entscheiden sich zum Tauschen, klar, logisch. Sie haben mich übertölpelt mit Kraft der Mathematik. 12.5 Euro verdient, zusätzlich.
Aber irgendwas kommt uns doch komisch vor, oder? Wieso sollte ich denn plötzlich profitieren können, wenn ich tausche? Was, wenn ich den anderen Umschlag genommen hätte? Hätte ich dann auch tauschen müssen?
Und jetzt kommt es sogar noch besser: Wie müssten Sie entscheiden, wenn Sie den Umschlag ungeöffnet in der Hand hielten? Sie haben jetzt einen Ihnen unbekannten Betrag x in den Händen. Und in dem anderen Umschlag ist entweder der Betrag 2*x oder der Betrag 1/2*x enthalten. Dann rechnen wir also wieder: 0.5* (-1/2 *x) + 0.5 * (+1*x) = +1/4* x. Also, wenn Sie tauschen sollten, den geöffneten oder sogar den ungeöffneten Umschlag, würden Sie 1/4 des enthaltenen Betrages profitieren. Also, Sie tauschen, klugerweise. Danke dir, Mathematik.
Aber nun halten Sie den anderen Umschlag in den Händen und wollen diesen gierig öffnen. Ich bremse Ihren Eifer kurz, und bitte Sie, noch einmal kurz nachzudenken, ob Sie wirklich diesen oder eventuell doch lieber den anderen Umschlag öffnen wollten? Sie halten inne, wie glatt ist Eis? Die Rechnung ergibt das gleiche Ergebnis: Sie müssen schon wieder tauschen. Ich leg mich dann mal schlafen…
Man muss darüber keine grauen Haare bekommen. Die Antwort ist offensichtlich und einleuchtend: Es ist egal, welchen Umschlag Sie nehmen. Die einzige Fragestellung, die offen bleibt, ist: Wie kann es mit einem so einfachen Beispiel gelingen, die Mathematik ad absurdum zu führen? Und da geraten wir blitzschnell wieder auf das Gebiet der Philosophie. Oder sollte sich doch urplötzlich eine Bestätigung des altbewährten Sprichworts: „Einem geschenkten Gaul…“ finden?
Philosophisch ist es so: Sie haben einen beliebigen Geldbetrag einfach so, aus dem Nichts, geschenkt bekommen. Und ob dieser Betrag nun 1/2 x oder x oder 2 x ist, ist absolut irrelevant. Sie haben ja nicht einmal eine Ahnung, ob es sich um 1 Euro oder um 100.000 Euro handelt. Also, zugreifen, nicht rechnen.
Aber wie relevant dieses Beispiel tatsächlich ist, ist Ihnen hoffentlich während meiner Schilderung noch nicht aufgefallen, sonst hätte ich ja nichts mehr zu erzählen. Es ist sogar beinahe tagtäglich relevant, ja. Gut, ich muss ja die Katze aus dem Sack lassen: Wenn Sie auch die Quizshows schauen? Die sind ja austauschbar, vom Aufbau her, aber spannend gemacht und bieten eine glänzende Form der Abendunterhaltung. Man sieht einen freundlichen, wissenden oder nett parlierenden Moderator, dazu meist zwei mehr oder weniger schwitzende Kandidaten. Es sind lustige Fragen und auch interessante Fragen ausgewählt. „Ja, das weiß ich, C) ist richtig!“ Und man bildet sich ja sogar, nicht wahr?
Also, nehmen wir Jörg Pilawa. Die Kandidaten loggen ihre Gewinnstufen ein. Die zweite bei 20.000 Euro. Gut, etwas vorsichtig, aber das müssen die Kandidaten ja auch an ihrem Wissensstand orientieren. Gut, die ersten Fragen zum Schmunzeln, erste Gewinnstufe erreicht. Alle Joker noch da. Der Weg zur zweiten Gewinnstufe wird schon etwas schwieriger. Gut, einmal richtig geraten mit Moderatorhilfe, einmal getauscht. Aber geschafft. Die nächste Frage auf 30.000 Euro ist frei, zurückfallen nicht möglich. Alles, was sich die Kandidaten erträumt haben, haben sie schon erreicht. 20.000 Euro, das war ihr Traum. Die nächste Frage ist einfach, fast geschenkt, sie haben 30.000 Euro! Jetzt die spannende Frage: Weitermachen oder aufhören?
Und da sind wir schon bei den Umschlägen. Was ist drin, was für eine Frage? Gut, über die Frage kann man nur spekulieren. Aber rechnen kann man ja trotzdem mal ganz kurz: Man kann im schlechten Fall auf 20.000 Euro zurückfallen (aber vor 5 Minuten wäre man mit diesem Betrag noch absolut zufrieden gewesen), also von 30.000 Euro auf 20.000 Euro, macht einen Verlust von 10.000 Euro. Und gewinnen kann man 20.000 Euro, von 30.000 Euro auf 50.000 Euro, so die Einteilung hier. Also müsste man eine Chance haben von 1/3, die nächste Frage richtig zu beantworten. Warum erstmal? Ich möchte es nur kurz belegen und nicht „herleiten“. Wenn Sie in 1/3 aller Fälle richtig liegen mit der Antwort, haben Sie 20.000 verdient, wenn Sie in den andern 2/3 Fälle falsch liegen, haben Sie 10.000 verloren. Also multiplizieren wir: 1/3 *20.000 + 2/3 * (-10.000) = 0. Also wenn Ihre geschätzte Chance 1/3 übersteigt, müssten Sie weiterspielen. Und jetzt überlegen wir noch weiter: Es gibt bei einer beliebigen Frage, auch ohne jede Ahnung, 4 Antwortmöglichkeiten. Also bei purem Raten hätten Sie bereits eine Chance von 1/4 (anstatt der erforderlichen 1/3). Aber wenn Sie noch tauschen können, erhöht sich die Chance gewaltig, wenigstens bei einer der Fragen auch nur den Hauch einer Ahnung zu haben. Und dann kommt noch dazu, dass man fast immer ohnehin eine Antwort sofort ausschließen kann. Damit haben wir das eine erforderliche Drittel. Dann kommt noch die Chance dazu, dass der Moderator, wohlwollend, wenigstens etwas hilft. („Wie kommen Sie jetzt auf B? Können Sie mir das kurz noch mal erklären?“ Ich schätze mal, B war es nicht.) Wir sind über 1/3, praktisch sicher.
Aber fast alle hören auf. Sie machen einen Fehler. Sie haben Angst oder was es auch ist. Ich habe zumindest noch keine Kandidaten rechnen sehen/hören.
Die „equity“ bezeichnet übrigens im Prinzip den entsprechenden Geldwert. Also nehmen wir mal an, dass der Kandidat bei der nachfolgenden Frage eine 50% Chance auf korrekte Beantwortung hat (tauschen incl.), dann würde sich die equity wie folgt berechnen: Zu 50% löst er die Frage, würde also 50.000 gewinnen (aufhören und nach Hause gehen) und zu 50% würde er falsch antworten, also nur 20.000 gewinnen (dann muss er nach Hause gehen). Seine equity in diesem Moment ist also 0.5 * 50.000 + 0.5 *20.000 = 35.000 Euro. Der verschenkte Geldwert durch aufhören wäre also 5.000 Euro. Er nimmt lieber 30.000 als 35.000. Aber die 35.000 sind halt spekulativ. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu finden ist auch individuell unterschiedlich, ich habe sie nur geschätzt, aber doch ganz realistisch. Einen kleinen Teil hat man fast immer durch Ausschluss einer Lösungsmöglichkeit, einen weiteren meist durch die Möglichkeit zu tauschen und den Rest durch Moderatorhilfe. Also 50% sind realistisch.
Aber, um die Verwirrung komplett zu machen ist selbst hier noch ein Rechenfehler. Haben Sie diesen auch gefunden? Ja, Tatsache. Denn in der nachfolgenden Situation hätte er ja nicht etwa 50.000 sondern er hätte den Wert, der ihm bei korrektem Verhalten zusteht. Und diesen müssten wir erst noch ausrechnen. Denn das Spiel geht ja weiter. „50.000, ein schönes Summe, wollen Sie weiterspielen?“ Und wir müssen hier erneut rechnen. Musste er den Joker einsetzen oder nicht? Und nun kommt der Sprung von 50.000 auf 100.000. Also würde man hier 30.000 riskieren um 50.000 gewinnen zu können. Und so weiter.
Und wenn man dann erneut rechnet und feststellt, nun müsste weiter machen, dann wäre die Begründung ja die, dass die equity höher ist, wenn man weiter macht, also höher als 50.000 Euro. Also müsste man in der vorherigen Rechnung, der Rechnung bei der 50.000 Euro Frage, bereits diese höhere Zahl einsetzen, um die korrekte Antwort auf die Frage „Soll ich die 50.000 Euro fragen angehen“ herauszufinden. Nehmen wir noch einmal ein Rechenbeispiel : Sie schätzen Ihre Chance, die 100.000 Euro Frage richtig zu beantworten, auf 40% ein. Dann müssten wir einsetzen:
0.4* 100.000 + 0.6 * 20.000. Und das ergibt 52000 Euro. Also wäre dann Ihre equity bei der 100.000 Euro Frage bei 52.000 Euro. Aufhören und 50.000 nehmen oder weiter machen und geschätzte 52.000 nehmen, die sich aus den Ausgängen 20.000 bzw. 100.000 mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten ergeben.
Die korrekte Rechnung bei der 50.000 Euro Frage, also der ersten und ursprünglichen Rechnung, sähe eigentlich so aus: 0.5 * 52.000 + 0.5 *20.000 = 36.000 Euro. Ihre equity verbessert sich sogar noch gegenüber der vorherigen Rechnung, da Sie eben vermutlich sogar bei der 100.000 Euro Frage noch weiter machen müssten.
Aber die Fragen werden ja auch wirklich schwerer. Meine Brüder dürften auf keinen Fall aufhören! Ich dagegen schon vorher. Denn ich würde bei meiner absoluten Ahnungslosigkeit ja nicht mal die erforderlichen 33% (1/3) erreichen. Und das ist bedauerlicherweise nicht mal Koketterie (es sei denn, ich bekomme eine Fußballfrage). Aber immerhin sehe ich Sie da sitzen und Herrn Pilawa das vorrechnen. Ich freu mich schon drauf!
