Wie viele Würfe braucht man wirklich für einen Pasch?
Ja, jetzt haben wir ein mathematisches Kapitel und dürfen auch ungestört rechnen. Natürlich gehe ich davon aus, dass Sie das Ganze längst für sich ausgerechnet haben und schon wissen, was Sie getan hätten. Mitspielen oder nicht Mitspielen? Und wer die Frage mit „Mitspielen“ beantwortet hat, bekommt auch meine Zustimmung. Voraussetzung allerdings dafür: Man hat eine ganze Menge überflüssiges Geld. Denn die korrekte Antwort lautet natürlich: Nicht Mitspielen.
Sollte ich damit doch irgendwie Verblüffung auslösen, dann fühle ich mich in der Folge verpflichtet, Ihnen das nachvollziehbar zu erklären. Es gibt natürlich viele Wege, meine Kinder behaupten mittlerweile gar „alle“, die nach Rom führen, darunter gibt es aber geschickte und ungeschickte. Ein Weg ist natürlich, sich viel Geld einzustecken und mich zu besuchen. Dann würde ich Sie zwar selbstverständlich, wie der berühmte Schwarzgurtinhaber im Karate, vorwarnen, da Sie ja aber auch das Buch gelesen haben, würde ich mich dann gerne auf das Spiel einlassen. Ich würfle, Sie kassieren (oder zahlen, im ungünstigeren Falle). Mein Tipp wäre dann, dass entweder der Geldkoffer zuerst leer ist, oder aber das Verständnis vorher voll.
Ein anderer Weg ist es, vorher zu rechnen. Und wir können es ja einfach gemeinsam tun.
Im folgenden Diagramm kann man ganz gut ablesen, wie wahrscheinlich ein Pasch in der Theorie ist. Es zeigt sämtliche 36 Kombinationen, welche zwei Würfel zeigen können:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 2 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
| 3 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
| 4 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
| 5 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 |
| 6 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 |
Dabei stellt die Hauptdiagonale dieser Matrix, die fett unterlegte, die Menge aller Paschs dar. Es sind 6 Würfe, die einen Pasch bilden, also 6/36 = 1/6.
Im Prinzip stellen sich bei dem Problem mit Pasch-Jürgen vier Fragen: Hat hier eine Seite einen Fehler gemacht? Wenn eine Seite einen Fehler gemacht hat, welche war es? Was für einen Fehler hat diese Seite gemacht? Und Gar: Warum hat hier eine Seite einen Fehler gemacht? Dabei ist ein Fehler dadurch definiert, dass man bei wiederholter Durchführung des Experiments langfristig verlieren würde. Also hatte eine Seite einen Vorteil und wenn ja, welche. Jeder Spieler versucht natürlich, gute Wetten zu machen. Ein jeder Geldeinsatz auf ein unbestimmtes, in der Zukunft liegendes Ereignis ist eine Wette. Also jeder, der mitgespielt hat, glaubte sicher, eine gute Wette zu machen. Aber wer hat sie wirklich gemacht?
Behandeln wir die Fragen einfach mal der Reihe nach:
- Hat hier eine Seite einen Fehler gemacht?
Bei allen Wetten, Geldeinsätzen gibt es eine Seite, die einen Vorteil hat. Der Vorteil macht sich so bemerkbar, dass bei Wiederholung des Experiments eine Seite langfristig profitiert. Dieser Profit lässt sich natürlich nicht in einem einzigen Spiel realisieren. Das eine Spiel gewinnt oder verliert man. Langfristig sieht das schon ganz anders aus ( Siehe dazu auch das Kapitel: „Simulationen“). Die Vorteilsseite wird sich (in der Regel) durchsetzen. Reiner Zufall wäre es in der Praxis, wenn man tatsächlich ein Zufallsexperiment finden und durchführen würde, wo exakte Chancengleichheit bestehen würde, also keine Seite langfristig profitieren würde (Selbst beim Münzwurf um gleiches Geld ist es, zumindest im praktischen Experiment, nicht gewährleistet, siehe auch Kapitel „Wie entsteht eine Quote“).
Nun ist es bei zahlreichen Problemen nicht ganz einfach (bis unmöglich) die Seite zu finden, die den Vorteil hat. Es gibt sie bestimmt, denn der Idealfall der Chancengleichheit existiert nur für die etwas bequemen Mathematiker, die einfach Idealfälle annehmen. Vor bei allem in der Zukunft liegenden Ereignisses, bei denen Menschen im Spiel sind (Sportereignisse zB?), wird es irgendwann absolut unübersichtlich und nicht exakt (wenn überhaupt) berechenbar. Dazu aber später mehr. Hier untersuchen wir mal ein doch noch recht übersichtliches Experiment, Spiel, bei dem, zumindest theoretisch, die Mathematik noch eindeutige Antworten liefert. Eine Seite lag falsch, wir müssen uns auf die Suche begeben, welche Seite es war. Welche Seite hat schlechte Geldeinsätze getätigt?
2. Welche Seite hat den Fehler gemacht?
Dazu ist es jetzt erforderlich, die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass das Ereignis „ein Pasch in 5 Würfen“ eintritt. Dabei muss man natürlich zunächst die Formulierung und die Durchführung des Experiments genau beschreiben: Selbst verständlich werden aufgrund der Problemstellung „Kommt ein Pasch in 5 Würfen“ nicht immer alle 5 Würfe durchgeführt. Denn: Sowie ein Pasch gekommen ist, wird das Experiment abgebrochen und ein neues angefangen. Denn man fragt eben so zu sagen, und hier wären die Mathematiker wieder gut aufgehoben, eigentlich danach „kommt mindestens ein Pasch in 5 Würfen“. Ob es dann zwei oder mehr würden, interessiert einen nicht mehr. Man bricht folgerichtig ab, sowie der erste Pasch kommt, falls überhaupt einer, und startet das Experiment von neuem (es sein denn, man ist an dem Punkt, wo eine Seite kapituliert oder der Turniersaal schließt).
Na gut, ich versuche doch weiterhin, mich der Lösung des Problems intuitiv zu nähern: Also wenn man alle 6 Würfe einen Pasch machen würde und also 6 Würfe statt 5 Zeit hätte, dann hätte man ja sozusagen „immer“ einen Pasch. Da uns intuitiv auch einleuchtet, dass es zwar bestimmt nicht immer geschieht (nehmen Sie zwei Würfel raus, würfeln Sie sechs Mal und notieren Sie, ob ein Pasch kommt, dann Wiederholung des Experiments), aber doch „häufig“, wäre ja die Wahrscheinlichkeit ziemlich sicher über 50%, oder? Die 50% errechneten sich ja scheinbar einfach, indem man (fälschlicherweise) aufaddiert 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 = 0.5 = 50%. Also so etwa bei 3 Würfen nähert man sich ja bereits der 50% Marke. Und diese ist für dieses Problem hier relevant. Gleiches Geld, 100 DM gegen 100 DM, wäre dann korrekt, fair, wenn Chancengleichheit bestünde, also 50% die eine Seite und 50% die andere Seite hätte.
Jürgen hat sich aber frecherweise gar 5 Würfe ausbedungen. Irgendwie finde ich intuitiv zumindest vorstellbar, dass man bei 4 Würfen auch schon die (bei drei Versuchen bereits nahe liegenden) 50% überschreitet, was übrigens eine spätere Rechnung auch bestätigen wird. Aber einfach zu sagen fünf Versuche ist schon frech, das ist das richtige Wort.
Die Antwort lautet also: Die Partei, die behauptet hat, es kommt kein Pasch in fünf Würfen hat den Fehler gemacht. Falls es immer noch Ungläubige gibt, sehe ich mich gezwungen, konkrete Berechnungen durchzuführen.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit und wie groß der Fehler?
Wir begegnen bei so einem scheinbar winzig kleinen Problem bereits allerhand interessanten Besonderheiten. So auch dieser hier: Immer wieder, wenn man sich einer solchen Fragestellung gegenüber sieht, ist es hilfreich, sich das Problem so handlich wie möglich zu machen. Die Erfahrung ist dabei häufig ein ganz guter Ratgeber. Wenn man also ein paar derartige Probleme gelöst hat, dann lernt man die verschiedenen Möglichkeiten kennen, die einen zum Ziel führen können und noch dazu, die davon Günstigste auszuwählen.
Ich gehe mal den beschwerlichen Weg der „Vorwärtsberechnung“. Wenn wir wissen wollen, wie wahrscheinlich ein Pasch in 5 Würfen kommt, bietet es sich an, die Wahrscheinlichkeiten aufzuaddieren, dass er im Ersten, im Zweiten, im Dritten etc. kommt. Natürlich ist es unabdingbar, korrekt zu rechnen. Die Rechnung 1/6 + 1/6 (wie oben bereits angedeutet) geht nicht auf. Denn im Zweiten kommt er ja nicht zu 1/6, da er ja im Zweiten nur kommen kann, wenn er im Ersten noch nicht kam. Dass er im Ersten nicht kommt, ist offensichtlich die Gegenchance davon, dass er kommt, also die Gegenwahrscheinlichkeit von 1/6, diese ist 5/6. Er kommt also im Ersten zu 1/6. Im Zweiten kommt er dann zu 5/6 * 1/6. Klar, zu 5/6 kommt er im Ersten nicht und in diesen Fällen wird der Zweite ausgeführt, dort ist es wieder 1/6, zusammen also 5/6 * 1/6.
Wir hätten also eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Pasch in Zwei Würfen kommt von 1/6 + 5/6 * 1/6. Das ist 1/6 + 5/36. Der Bruch aufgebläht ergibt 6/36 + 5/36 = 11/36. Wenn wir jetzt so weiter rechnen wollen, kommen wir selbstverständlich zum richtigen Ergebnis. Wir berechnen dann, dass er im Dritten kommt, wenn er vorher noch nicht gekommen war, also der Gegenchance von 11/36 malgenommen mit dem wiederkehrenden 1/6. Das wären also 25/36 * 1/6. Hier notiere ich es noch: Die Wahrscheinlichkeit, dass (mindestens) ein Pasch in drei Würfen kommt, ist 11/36 + 25/36 * 1/6. Die 11/36 waren die Chance, dass er im Ersten oder im Zweiten kam, falls er da noch nicht kam, also zu 25/36 kommt er mit 1/6 dann im Dritten. Der Bruch, der sich ergibt, ist dann also 11/36 + 25/216. Wieder aufgebläht sind das 66/216 + 25/216, in der Summe also 91/216.
Das nur zum Beweis, dass es zwar nicht ganz annähernd 50% sind nach drei Würfen , aber doch schon allmählich in die Nähe kommt. 50% wären ja 108/216., es sind aber „nur“ 91/216.
Die Rechnung könnten wir fortsetzen, und hätten, bei Fehlerunterlassung sicher bald das gewünschte und korrekte Ergebnis für 4 und in der Folge auch für 5 Würfe heraus.
Nur fragt man sich allmählich, je unhandlicher die ganzen Brüche werden, ob es nicht einen einfacheren Weg geben könnte? Das Problem, was man bei der Vorwärtsberechnung hat, ist auch so zu beschreiben: Man muss ständig die Rechenart verändern. Es ist bemerkenswert, dass die sprachlich korrekte Formulierung einem zugleich einen Anhaltspunkt gibt, welche Rechenoperation zu verwenden ist. Und hier müssen wir noch mal ausformulieren, um das verständlich zu machen: Ob ein Pasch in 5 Würfen kommt wäre, zur Berechnung ausgedrückt, dass er im Ersten Wurf kommt, oder, wenn er im Ersten nicht kommt, dass er dann im Zweiten kommt, oder, wenn er im Ersten und im Zweiten noch nicht gekommen ist, dass er dann im Dritten kommt und… oder … und … oder. Dabei steht jedes „und“ für eine *-Operation und jedes „oder“ für eine +-Operation. Nicht nur das ist mal wieder bemerkenswert, sondern auch die Tatsache, dass sich ständig die Wörter abwechseln.
Das ergibt diese unhandlichen Terme, die eben Kombinationen von + und von * Operationen darstellen. Noch dazu steigt die Fehleranfälligkeit zwangsläufig an bei komplizierten Termen.
Ja, also die Handlichkeit des Problems erreichen wir, indem wir die Fragestellung einfach umkehren. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Pasch in 5 Würfen kommt? Ich frage einfach mal: Wie wahrscheinlich ist es, dass kein Pasch in 5 Würfen kommt. Offensichtlich ist es die Gegenwahrscheinlichkeit. Wenn wir also wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass kein Pasch in 5 Würfen kommt, wissen wir sofort, wie oft er doch kommt. Es ist die Ergänzung zu 1, die Gegenwahrscheinlichkeit, also 1-(es kommt keiner) ist die Chance, dass einer kommt.
Ist diese Fragestellung aber wirklich einfacher zu beantworten? Wir formulieren aus: Wenn wir wissen wollen, wie wahrscheinlich es ist, dass kein Pasch in 5 Würfen kommt, formulieren wir, dass es die Chance ist, dass er im Ersten nicht kommt und dass er im Zweiten nicht kommt und dass er im Dritten nicht kommt und dass er im Vierten nicht kommt und dass er im Fünften nicht kommt. Es ist also fünf mal die Verknüpfung „und“, die analog das Malzeichen ist. Und noch dazu ist die Chance recht einfach zu berechnen, dass er im jeweiligen Versuch nicht kommt. Es ist jeweils die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass er kommt, also die Gegenwahrscheinlichkeit von 1/6, also 5/6. Wenn wir das jetzt korrekt einsetzen, ergibt es die Multiplikation 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6. Fünf Terme, alle identisch, alle gleich handlich, keine 36stel und keine 216tel.
Letztes kleines Problem, was wir haben: Wir müssen das Ergebnis von 1 abziehen. Also zunächst multiplizieren wir aus. 5/6 * 5/6 * 5/6 *5/6 *5/6 = 3125/7776. Das drückt man am besten … in den Taschenrechner ein und erhält eine Prozentzahl. Diese Zahl ist 40.18%. Die Differenz zu 1, also 1 – 40.18% sind 59.82% und das ist unser Ergebnis.
Die Frage „wie wahrscheinlich ist es, mindestens einen Pasch in 5 Würfen zu werfen“ muss man mit „59.82%“ beantworten. Da sieht man mal, wie groß der Vorteil war, den Jürgen sich „erschlichen“ hat. Er gewinnt beinahe zu 60% und verliert nur zu 40%.
Ich will Sie nicht mit noch mehr Mathematik langweilen, aber wenn man im Schnitt in etwa 6 von 10 mal gewinnt, dann errechnet sich der Vorteil so: 6*100 DM – 4*100 DM, also die 6 Mal von 10 gewinnt man 100 DM, 4 Mal verliert man 100 DM, das macht 600 – 400 = 200 DM Gewinn auf 10 Versuche. Pro Versuch wären das 20 DM. Das bedeutet, dass jeder gesetzte 100er nur noch 80 DM wert war. Ein Durchlauf dauert in etwa 20 Sekunden. 10 Mitspieler. Alle 20 Sekunden wären das also 10 * 20 DM = 200 DM, pro Minute wären es 600 DM, pro Stunde wären es 36000 DM.
Nun, offensichtlich habe ich übertrieben mit der halben Stunde, aber es waren sicher 20 Versuche. Und Jürgen hatte kein Pech. Vielleicht waren es auch weniger als 10 Mitspieler. Aber es waren etliche und Jürgen hat auch wirklich viel gewonnen.
4. Warum hat diese Seite den Fehler gemacht?
Warum habe sich, auch teilweise sehr intelligente Menschen, gute und erfahrene Spieler, darauf eingelassen (mir ist nicht übermittelt, wie viele dieser Menschen in der nächsten Nacht Schlafstörungen hatten oder sich Ohrfeigen verpasst haben, oder beides?)?
Nun, die Formulierung war geschickt gewählt und unsere Sinne lassen sich relativ leicht täuschen (es soll ja auch optische Täuschungen oder andere Formen von Sinnestäuschungen geben; man rätselt immer, wie es möglich war, aber immerhin, es gelingt, man wird getäuscht). Und intuitiv denkt man halt gleich: In fünf Würfen, das schafft er nicht, kommt ja eben nur in sechs. Und für den Moment vergisst oder erwägt man nicht die eigentlich relevante Fragestellung: Ich brauche bei einer Quote von 2.0 mindestens 50% um einen Vorteil zu haben. Habe ich in diesem Fall 50% oder mehr?
Dazu kommt, dass Jürgen sich eben ein gewisses Image aufgebaut hatte in der Spielerszene. Er konnte locker und herrlich parlieren, die Leute unterhalten. Und hat nie besonderen Wert darauf gelegt, dass man ihn spielerisch für gut hält. Eher galt er vielleicht als etwas verrückt, und hat manchmal wirklich auch (absichtlich?) verrückte Sachen gemacht. Dadurch waren die Mitspieler bestimmt wesentlich leichter zum Spielen zu bewegen, als wenn es ein anerkannt guter Spieler gemacht hätte, da hätte man dann einen Haken vermutet und vielleicht noch mal kurz nachgedacht.
Ich habe nur zugeschaut und gestaunt. Aber, wenn ich es erwähnen darf, der Grund, dass ich nicht gespielt habe war, dass ich das Problem erkannt und durchschaut habe. Ich habe aber niemanden aufmerksam gemacht. Warum auch? Jürgen war gut, hat einen Trick gemacht, hat sein Image ausgenutzt, so läuft es halt im Geschäft. Jeder muss auf sein Geld selber aufpassen.
5. Die allgemeine und wiederkehrende Fragestellung
Wir rechnen schnell noch durch, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Pasch in 4 Würfen kommt. Dazu nehmen wir zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit, also 5/6*5/6*5/6*5/6 , dass der Pasch nicht kommt, das sind 625/1296 oder 48.2%. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Chance, dass doch ein Pasch in vier Versuchen kommt, ist 51.8%. Ab 4 Versuchen hätte man also bereits einen Vorteil. Wie gesagt, intuitiv finde ich es eigentlich nicht verblüffend, da einem die naive Rechnung 1/6 + 1/6 etc. das schon irgendwie weismachen möchte.
Also, probieren Sie es aus, Sie werden verblüfft sein, wie viele Menschen sich bei der Einschätzung vertun.
Die allgemeine und wiederkehrende Fragestellung ist also die, wie viele Versuche auf ein Ereignis mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/n (bei uns war n=6, aber man könnte ja auch 100 nehmen, oder 36, für 1/36, was die Chance für Pasch 6 wäre oder etwas Ähnliches) man braucht, bis die Wahrscheinlichkeit größer als 50% ist, bis es mindestens einmal eingetreten ist.
Antworten darauf findet man im Kapitel „Murphies law“.
